Barrapunto

(Sistema formal: basicamente, un conjunto de axiomas o verdades aceptadas mas unas serie de reglas (reglas de inferencia) para obtener afirmaciones a partir de las anteriores.)

como el de la aritmetica, que tiene un numero finito de axiomas, entonces, si el sistema no tiene contradicciones (es decir que de una afirmacion no podemos llegar a su negacion con los axiomas y las reglas de inferencia) entonces habra sentencias validas (afirmaciones con sentido) que no podran ser probadas como ciertas ni como falsas (aunque sean verdaderas o falsas).

A los sistemas sin contradicciones se les denomina consistentes. A los sistemas en los que toda propiedad verdadera puede ser probada a partir de los axiomas se les denomina completos.

Por tanto el teorema de incompletitud de Goedel lo que dice es que 'si el sistema formal de la aritmetica es consistente, entonces es incompleto'.

La hipotesis del continuo afirma que no hay ningun conjunto que tenga mas elementos que los numeros naturales y menos que los reales. O tiene tantos numeros como reales hay, o tan pocos como enteros.

Se sabe que el cardinal de los reales es 2^alef_0 (lo demostro Cantor, creo). Lo que no se sabe es si existe alef_1 tal que sea menor que alef_0 y 2^alef_0.

Goedel probo tambien que si suponemos que la hipotesis del continuo es cierta, no encontraremos ninguna contradiccion con las leyes de la teoria de conjuntos (el sistema formal de la aritmetica). No se puede demostrar que sea flasa.

En los años 60, otro matematico probo que si la suponemos falsa tampoco entraremos en contradiccion (no me pregunteis como se demuestran estas cosas). No podemos demostrar que es cierta.

Eco! o n'e lacqua? Digo... que ya tenemos nuestra primera proposicion indecidible! (no podemos demostrar que sea cierta ni tampoco que sea falsa).

Bueno... pues supongamos que es cierta. La introdicimos como axioma y ya tenemos una prop. indecidible menos! aja! pero el teorema de Goedel se aplica tambien al nuevo sistema formal con un axioma mas. Luego habra nuevas propiedades indecidibles!

Por cierto, que existe relacion todo este tema y Turing aunque creo que esta un poco alejada de la IA. Existe una demostracion del teorema de goedel por medio de maquinas de Turing.

Bueno. Creo que me he pasado con el comentario. Ya me callo!