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2 a la 20.996.011 menos 1: el mayor número primo conocido
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Barrapunto © 1999-2007. Contenido disponible bajo licencia Creative Commons Reconocimiento 2.5
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Re:No es EL primo de Mersenne
(Puntos:0)...pero en este caso, es una conjetura *fuerte*, ya que el conjunto "padre" (el de los primos) sí es sabido que es infinito (desde tiempo inmemorial) y es equidistribuible en él, así que no hay por qué pensar que *no* es infinito, aunque no se pueda demostrar que lo sea.
Re:No es EL primo de Mersenne
(Puntos:4, Informativo)( Última bitácora: Sábado, 25 Febrero de 2006, 21:57h )
Para demostrar esta afirmación razonemos por reducción al absurdo.
Supongamos que existe solamente un número finito de primos. Sea C = { p1, p2, ... pn } el conjunto formado por todos ellos. Consideremos ahora el número M=p1xp2x ... pn+1. Como cada primo pi es mayor que 1, M es un número mayor que cualquiera de los pi; es decir, M no está en el conjunto C y por tanto es compuesto. Admitirá entonces una descomposición como producto de factores primos (por el teorema fundamental de la aritmética). Por hipótesis, estos factores sólo pueden estar entre los primos que aparecen en el conjunto C. Por tanto, existirá un primo q del conjunto C, tal que q|M y obviamente, q|p1xp2x ... pn. Por consiguiente, q divide a la diferencia M - p1xp2x ... pn (que es 1). Pero ningún número primo divide a 1, y q es un número primo que divide a 1 (Contradicción). Concluimos entonces que el conjunto de los números primos no puede ser finito.
No olvides lo importante que eres para mí.
Re:No es tan informativo...
(Puntos:4, Informativo)Estamos razonado "por el absurdo": suponemos lo contrario de algo y tratamos de llegar a una contradicción (si el razonamiento ha sido correcto, solo puede ser porque lo que hemos supuesto al principio esta mal).
Asi pues, vamos a imaginar que NO hay infinitos números primos. Tenemos solo N (por ej, pongamos que tenemos cinco -> 2,3,5,7,11)
Ahora nos sacamos de la manga otro número que llamaremos M (y eso se hace porque sí, porque nos APETECE: en realidad es porque no olemos que pasara si metemos el dedo por ahi... usando un poco de "picardia" y un mucho de practica) que es el producto de todos estos primos mas 1 (en nuestro ejemplo concreto, (2*3*5*7*11)+1= 2310+1 = 2311). Como hemos multiplicado números todos ellos mayores que 1, tenemos que el resultado es seguro mayor que el mayor de los factores. O sea, que nos hemos "salido por arriba" de nuestro conjunto de primos. (esto se ve claramente con el 2311). La razon de porque le sumamos 1 viene luego (y en cualquier caso no hace mas que reafirmar el que tenemos un número aun mayor). Si el número no esta en esa coleccion de primos que hemos SUPUESTO que son LOS UNICOS PRIMOS QUE HAY, es porque es compuesto. Si es compuesto se desmuestra (teorema fundamental de la aritmetica) que puede descomponerse en producto de primos. Pues supongamos que uno de esos primos que "forman parte" de M es 'q' (es un primo, asi que tiene que estar en ese conjunto inicial FINITO que hemos considerado).
Entonces esta claro que la división M/q es un número entero. Tambien esta claro que 'q' divide al producto de todos los primos (es mas, él es uno de ellos!!).
(ignorar esto si no se entiende)
Asi pues, ambos forman parte de la misma "clase de equivalencia" son congruentes modulo 'q'
(/ignorar)
Si lo anterior no se entiende, hagase acto de fé y creaseme si digo que dos numero son congruentes módulo 'q' siempre que si los restamos y dividimos por 'q' sale un numero entero.
Asi que M - "producto de todos los primos" = 1 (Y ESTA ES LA RAZON DE SUMAR +1 A M AL PRINCIPIO!!).
Y aqui tenemos la CONTRADICCION, ya que NINGUN número primo (y por tanto mayor que 1) divide a 1. (recuerdo que 'q' deberia dividir a 1 porque acabamos de decir que forman parte de la misma "clase de equivalencia" y por tanto su resta ha de ser divisible por 'q')
De esto se deduce que el conjunto de los numeros primos no puede ser finito. (ya que si lo fuera, lo anterior no chocaria contra ese contrasentido...).
Espero haber aclarado algo a quien no este de manejar estas cosas. Y que no se me tiren al cuello demasiados puristas ;)
A veces merece la pena sacrificar un poco de "notacion" por claridad.
Bye
Re:No es EL primo de Mersenne
(Puntos:0)