Barrapunto

He aquí la solución a tú problema:

DEFINICIÓN: Se dice que dos conjuntos tienen el mismo cardinal si existe una biyección entre los dos conjuntos.

PROPOSICIÓN: La relación "tener el mismo cardinal" es una relación de equivalencia.

OBSERVACIÓN: La relación de equivalencia "tener el mismo cardinal" en conjuntos finitos corresponde a la relación de equivalencia "tener el mismo número de elementos".

Cada una de las clases que se obtienen al hacer la relación de equivalencia corresponde al cardinal (más o menos). He de advertir que he cometido una imprecisión, pues implícitamente he usado que la clase de todos los conjuntos es un conjunto, cosa que no es cierta, pero se puede evitar ese inconveniente. La simplificación hace que sea "inteligible" sin dar rodeos.

El hecho es que en ningún momento aparece "tener el mismo número de elementos" cuando nos referimos a conjuntos infinitos; simplemente decimos, y esto es importante, por definición dos conjuntos tienen el mismo cardinal si cumplen la definición (vuelvo a repetir, definición), independientemente lo que signifique en la vida diaria la palabra cardinal. Simplemente, la observación que he hecho hace que por extensión se hable de esto sobre conjuntos infinitos.

Ahora bien, ¿podemos decir que tienen el mismo número de elementos dos conjuntos que tienen el mismo cardinal? Hombre, pues sí. Está demostrado que para cada clase formada a través de la relación de equivalencia "tener el mismo cardinal" existe y se puede tomar un elemento (aquí creo que es necesario usar el Axioma de Elección). ¿Eso que quiere decir? Simplemente que tengo un conjunto por el cual puedo designar cada una de las clases que existen (llamado "representante de la clase ..."). Pero así consigo una especie de "medidor de cardinalidad", cada conjunto es posible compararlo con uno, teniendo tal colección de representantes como una etiqueta de la cardinalidad.

En una misma clase, cada conjunto que está ahí tiene una biyección con el representante de su clase. Ahora sólo falta aplicar la intuición: si tengo una biyección, quiere decir que puedo emparejar totalmente un elemento del conjunto A con uno del representante, llamémosle R. En esta biyección ni sobra ni falta elementos. Ahora contamos sobre R (que es nuestro patrón de medida) y efectivamente, tiene el mismo número de elementos. Nótese que por ser relación de equivalencia, dos representantes de dos clases distintas no pueden tener una biyección, por lo que no puedes "compararlos" no "medir uno sobre otro", porque no son iguales mirando bajo el prisma "tener el mismo cardinal".

Ya sé que es largo el texto, pero creo que es la mejor forma de aclarar y no oír paridas, chorradas y tonterías varias, que la gente habla sin saber de lo que está hablando.

P.D.: Que una relación sea de equivalencia significa que cumple tres propiedades: 1) Un conjunto A está relacionado consigo mismo; 2) Si A está relacionado con B, entonces B está relacionado con A; 3) si A está relacionado con B y B está relacionado con C, entonces A está relacionado con C. Una relación de equivalencia es un método de trocear un conjunto: juntas todos los elementos que estén relacionados entre ellos en un mismo saco ---ser relación de equivalencia te lo permite hacer---. Cada saquito que formas es una clase.