Barrapunto

Es lo que usas en el fondo para resolver ese sistema de forma matricial. Si repasas la "fommula pofesiona" veras que det(A) divide en la expresion, de ahi que si tienes una matriz de determinante proximo a cero la solucion salga disparada a poco error que tengan las operaciones intermedias.

En entornos como mathematica o matlab creo recordar que de hecho operaciones como invertir una matriz llevan una comprobacion del determinante que te casca un warning si ve que anda muy cerca de cero.

La regla de Cramer no sirve para sistemas no lineales.

Limitémonos a dimensión 2 sin pérdida de generalidad. La estabilidad depende tanto del determinante como de la traza, es cuestión de dónde se ubican los polos (autovalores de la matriz), no de cuan grande (o pequeño) sea el determinante. Aunque hay diferentes criterios de estabilidad, nos referimos a éste (ubicación de los polos). En el de Lyapunov no se tiene en cuenta el determinante para decidir.

La regla de cramer no es lo que se usa para resolver un sistema de ecuaciones, y de hecho, ningún programa numérico lo hace así. El coste computacional de resolver un sistema de nxn empleando la regla de cramer no es nunca menor que n! (y eso solamente para calcular det(A), todavía quedarían muchos determinantes más por calcular..)

La forma estándar de hacerlo (tanto por coste computacional como por obtener menores errores de redondeo) es mediante la eliminación gausiana con pivotaje parcial. Este método tiene un coste computacional del orden de n^3.

El único caso que justifica utilizar la regla de cramer es para sistemas de ecuaciones de muy pocas incógnitas.

Además, un sistema de ecuaciones mal condicionado no solamente depende de errores de redondeo en los elementos de la matriz. Si la intención es resolver el sistema de ecuaciones Ax=b, la pregunta a realizarse es cuan lejos estará la solución (x+dx) del sistema (A+dA)(x+dx)=(b+db), por lo cual, lo que comentas del determinante solamente podría justificar en algunos casos errores de redondeo en la matriz A.