Barrapunto

¿Puedes extenderte la respuesta un poco más, por favor? ¿Cómo se relaciona la estabilidad del sistema con la ubicación de los autovalores?

Si hay que decir toda la verdad, tampoco se a qué te refieres con la "ubicación" de un autovalor. ¿Podrías poner un enlace a algún sitio donde se explique?

¡Gracias!

Suena a ubicación en el plano complejo, tal que los autovalores tengan parte real negativa.

Los polos del sistema coinciden con los autovalores de la matriz que multiplica al vector de estados. Así que como ya te comentan, serán estables aquellas variedades cuyos autovalores tengan parte real negativa.

En concreto, si resuelves la ecuación del autovalor en función de la traza (T) y el determinante (d) para dimensión dos obtienes: lambda=(T +- sqrt(T^2-4d))/2, por tanto, para que el sistema sea estable la traza de la matriz debe ser negativa y el determinante positivo, pero no importa cuan grande o pequeño sea como dice el de la regla de Cramer. Si el determinante es negativo el equilibrio se trata de un punto de silla (una variedad estable y otra inestable). Si la traza es 0 se trata de un centro, si T^2-4d menor que 0, de un foco y si T^2-4d mayor o igual que 0, de un nodo. Si tanto la traza como el determinante son 0, hay toda una variedad (en este caso variedad!=estado) de equilibrios posibles.

Para sistemas de mayor dimensión, lo suyo es mirar la definición positiva (o negativa) de la matriz A.